Modelamento matemático

Modelamento Matemático

   Para que se tenha devido entendimento do funcionamento de um sistema em seus aspectos totais, é necessária a modelagem matemática do mesmo, para que assim seja possível prever e analisar o comportamento deste sistema ou modelo.

   Na obtenção deste modelo a seguir serão empregadas considerações físicas para facilitação de alguns cálculos sem alteração no modelo. Escrevendo equações parciais em relação ao modelo completo  que juntas  descrevem este sistema como um todo, em todos os instantes de tempo, podemos obter um conjunto de equações diferenciais não-lineares que não necessitarão ser linearizadas graças as considerações físicas descritas do início deste parágrafo.

   Para a escrita das equações tomaremos duas frações do sistema, trabalhando assim com dois subsistemas, um mecânico e um elétrico.

  

    Tomando a direção vertical como eixo das forças (já que o sistema é de levitação) começaremos os nossos modelamentos:

      Subsistema Mecânico:

Tomemos a força magnética:

Tomemos a força gravitacional:

Tomemos a segunda lei de Newton:

Tendo que as forças magnética e gravitacional se contrapõem, podemos afirmar pela segunda lei de Newton que:

    Onde m é a massa do corpo a ser levitado; g a gravidade terrestre; K a constante de força;  x e i respectivamente a distância do corpo ao eletroímã e a corrente que passa pelo eletroímã, ambos aplicados no instante de tempo t.

    Subsistema Elétrico

    Para o subsistema elétrico, tomaremos o eletroímã como sendo uma bobina de indutância L, em série com um resistor R, e submetidos à tensão aplicada V.

  Escrevendo então a lei das malhas pela Lei de Kirchoff, teremos:

Condição de equilíbrio para o Sistema Total

    

     Após a obtenção de ambos subsistemas podemos utilizá-los para obtenção do modelo geral. Estando no ponto de equilíbrio as derivações no tempo são nulas, logo aplicando tal condição as equações anteriores, encontraremos as equações dos subsistemas mecânicos e elétricos respectivamente representados pelas equações abaixo, em função das variáveis de equilíbrio:

            e

Fazendo os devidos rearranjos encontramos o deslocamento de equilíbrio do corpo levitado:

Tabela de unidades de parâmetros e medidas para os cálculos:

Parâmetros	Definição	Unidades	Valores
Fm	Força Magnética	[N]	-
Fg	Força Gravitacional	[N]	-
m	Massa	[Kg]	-
g	Aceleração da gravidade	[m/s²]	9,81
a	Aceleração	[m/s²]	-
V	Tensão	[V]	-
R	Resistência	[Ω]	-
i	Corrente	[A]	-
L	Indutância	[H]	-
t	Tempo	[s]	-
x	Deslocamento	[m]	-

Nota: Os valores ainda estão sendo estabelecidos por experimentação.